X x 2 решение

Линейные дифференциальные уравнения 14. Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y x и её производные входят линейно, т. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида ; 21 Задача Коши для уравнений 20 и 21 ставится также, как и для общего уравнения n -го порядка 17 : требуется найти решение уравнения 20 или 21удовлетворяющее начальным условиям 22 где y 0, y 1, y 2, …, y n-1 - заданные числа. Для уравнения 17 теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции и её производных ; если привести 20 к виду 17 :. Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально. Множество функций, имеющих на интервале a, b не менее n производных, образует линейное пространство. Дифференциальный оператор L n y является линейным оператором. Док-во непосредственно следует из свойств производных: 1. Наши дальнейшие действия: сначала изучить, как устроено общее решение линейного однородного уравнения 25затем неоднородного уравнения 24и потом научиться решать эти уравнения. Начнём с понятий линейной зависимости и независимости функций на интервале и определим важнейший в теории линейных уравнений и систем объект - определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость системы функций. Система функций y 1 xy 2 x…, y n x называется линейно зависимой на интервале a, bесли существует набор постоянных коэффициентовне равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на a, b :. Если равенство для возможно только присистема функций y 1 xy 2 x…, y n x называется линейно независимой на интервале a, b. Другими словами, функции y 1 xy 2 x…, y n x линейно зависимы на интервале a, bесли существует равная нулю на a, b их нетривиальная линейная комбинация. Функции y 1 xy 2 x…, y n x линейно независимы на интервале a, bесли только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на a, b. Функции 1, x, x 2, x 3 линейно независимы на любом интервале a, b. Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x 2, x 3…, x n. Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на a, b больше n корней. Функции линейно независимы на любом интервале a, b. Действительно, если, например,то равенство имеет место в единственной точке. Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского. Определителем Вронского вронскианом системы n - 1 раз дифференцируемых функций y 1 xy 2 x…, y n x называется определитель. Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y 1 xy 2 x…, y n x линейно зависима на интервале a, bто вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале. Если функции y 1 xy 2 x…, y n x линейно зависимы на интервале a, bто найдутся числаиз которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что. Определитель этой системы - определитель Вронского 26. При эта система имеет нетривиальное решениеследовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения 25 или, что тоже самое, 21т. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y 1 xy 2 x - частные решения 25то функции Cy, y 1 x + y 2 x - тоже частные решения 25. Действительно, пользуясь свойствами пункта 14. Если y 1 xy 2 x…, y n x - частные решения уравнения 25то их линейная комбинация C 1 y 1 x + C 2 y 2 x + …+ C n y n x - тоже частное решение этого уравнения. Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения 25. Пусть y 1 xy 2 x…, y n x - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точкето система функций y 1 xy 2 x…, y n x линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на a, b. Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W x 0 является определителем, имеет нетривиальное решение относительно C 1, C 2, …, C n. Эта функция удовлетворяет уравнению 25 и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x 0т. Таким образом, система функций y 1 xy 2 x…, y n x линейно зависима на a, bи по Теореме 14. Если определитель Вронского W x системы y 1 xy 2 x…, y n x частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точкето W x отличен от нуля в любой точке этого интервала. Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на a, bчто противоречит условию. Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так: Теорема 14. Если W x - определитель Вронского системы y 1 xy 2 x…, y n x частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале a, b что означает линейную зависимость этих решений на a, bлибо в любой точке этого интервала что означает линейную независимость этих решений на a, b. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y 1 xy 2 x…, y n x его n частных решений. Пусть y 1 xy 2 x…, y n x - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Возьмём любую точкувычислим в этой точке числа и найдём постоянные C 1, C 2, …, C n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен. Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю. Эта система линейно независима на a, bтак как её определитель Вронского в точке x 0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна nи базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос - как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения. Определитель Вронского системы y 1 xy 2 x…, y n x решений однородного уравнения удовлетворяет уравнениюгде p 1 x - коэффициент при n - 1 производной. Докажем эту теорему для уравнения второго порядка. Пусть y 1 xy 2 x - частные решения этого уравнения, тогда. Так как y 1 xy 2 x - решения уравнения, то. Умножим первое из этих уравнений на - y 2 xвторое - на y 1 x и сложим:. В первой из квадратных скобок стоит W xво второй -поэтомучто и требовалось доказать. Для доказательства этой теоремы в общей случае надо знать правило дифференцирования функциональных определителей: производная определителя n -го порядка равна сумме n определителей, которые получаются из исходного определителя построчным дифференцированием. Для определителя Вронского так как первые n - 1 определитель содержат равные строки и равны нулю. Каждая из функций y 1 xy 2 x…, y n x удовлетворяет уравнению ; поэтому, поставив эти выражения в последнюю строку и пользуясь свойствами определителей, получим т. Решим это уравнение относительно W x. Пусть дана система функций y 1 xy 2 x…, y n x с отличным от нуля на отрезке a, b вронскианом W x. Требуется составить линейное однородное уравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y 1 xy 2 x…, y n x. Эта задача решается. Решение: Заметим, что коэффициент при старшей производной оказывается равным вронскиану фундаментальной система решений: Дальнейшие преобразования дают. Это и есть искомое уравнение. Его коэффициенты непрерывны на любом интервале, на котором. Пусть для линейного уравнения известно частное решение y 1 x. Продемонстрируем эту идею на примере уравнения второго порядка. Пусть y 1 x - частное решение этого уравнения, т. Тогда ; подставляем эти выражения в уравнение: Последнее уравнение не содержит явно неизвестную функцию z xпоэтому допускает понижение порядка. В рассматриваемом случае уравнения второго порядка получим линейное уравнение первого порядка, которое решается: Можно доказать, что вронскиан системы функций равент. Можно, однако, наоборот, получить выражение для y 2 x исходя из этого значения вронскиана, следующего их формулы Лиувилля. Запишем формулу Лиувилля. Поделив это выражение на y 1 xy 1 x 2, получим. Выражение слева - производная дроби. Интегрируем:, и так как мы ищем решение y 2 xлинейно независимое с y 1 xто берём. Пример: найти общее решение уравнения. Решение: это линейное однородное уравнение, нахождение его общего решения означает нахождение фундаментальной системы решений. Как уже упоминалось, в общем случае нахождение фундаментальной системы решений возможно только для уравнения с постоянными коэффициентами, однако в некоторых случаях удаётся найти частные решения, исходя из структуры уравнения. Тогда ; после подстановки этих выражений в уравнение получим. Для нахождения второго частного решения, линейно независимого с первым, приведём уравнение к виду с коэффициентом при старшей производной, равным единице:и воспользуемся формулой :. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Мы должны доказать, что если известно частное решение y чн x неоднородного уравнения 20то любое его другое частное решение может быть получено по формуле при некотором наборе постоянных C 1, C 2, …, C n. Функция удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C 1 y 1 x + C 2 y 2 x + …+ C n y n x при некотором наборе постоянных C 1, C 2, …, C n:. Таким образом,что и требовалось доказать. Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Док-во основано на линейности оператора L n y :что и требовалось доказать. Теперь мы знаем, как устроены общие решения и неоднородного линейного уравнения сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравненияи однородного линейного уравнения линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений. Остался вопрос: как найти фундаментальную систему решений и частное решение? Оказывается, в общем случае фундаментальную систему решений можно найти только для уравнений с постоянными коэффициентами и уравнений, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами. Такими уравнениями мы займёмся ниже, а в этом разделе рассмотрим метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Идея метода Лагранжа состоит в следующем. Мы должны найти эти функции. Дальше надо вычислять вторую производную. Воспользуемся тем обстоятельством, что вместо одной функции y x мы ищем две функции C 1 x и C 2 xи, как следствие, можем наложить произвольную связь на эти функции. Для того, чтобы в выражении для второй производной не участвовали вторые производные функций C 1 x и C 2 xв качестве этой связи положим ; 31 Тогда. Подставляем выражения для y x и её производных в уравнение 29 : Преобразуем: Выражения в квадратных скобках раны нулю, так как функции y 1 xy 2 x - решения однородного уравнения 30поэтому окончательно ; 32 Уравнения 3132 дают замкнутую систему для функций и : 33 определитель этой системы совпадает с вронскианом функций y 1 xy 2 x и поэтому отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение. Пример: найти общее решение уравнения. Мы начали решать эту задачу в разделе 14. Понижение порядка линейного однородного уравнения. Тогда Потребуем, чтобы сумма слагаемых, содержащих производные функций C i xт. Для n -ой производной получим Подставляя выражения для производных в неоднородное уравнение и учитывая, что функции y i x удовлетворяют соответствующему однородному уравнению, получим. Подставляя эти выражения для производных в 34 и сокращая его на e kxполучим алгебраическое уравнение n -ой степени k n + a 1 k n -1 + a 2 k n -2 +. Это уравнение имеет n возможно, комплексных корней k 1, k 2, …, k nнекоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем: Если k j - простой действительный корень характеристического уравнения т. Рассмотрим уравнение второго порядка. Функциипо самому способу их нахождения, являются решениями уравнения 36. Вронскиан этой системы функцийследовательно - это фундаментальная система решений. Общее решение уравнения 36 в этом случае. Функциякак и в предыдущем случае, решение уравнения 3 6. Докажем, что функция тоже удовлетворяет уравнению:так как k 1 - корень характеристического уравнения:. Функции - фундаментальная система решений, так. Общее решение уравнения 36 в этом случае. В этом случае. Мы должны доказать, что функции удовлетворяют уравнению. Находим:подставляем в уравнение: Рассмотрим по отдельности коэффициенты при и при :. Аналогично доказывается, что и функция - решение уравнения. Якобиан этой системы функций:т. Общее решение уравнения 36 в этом случае. Фундаментальная система решенийобщее решение. Фундаментальная система решенийобщее решение. Если коэффициенты уравнения постоянны, то, как следует из результатов предыдущего раздела, можно найти фундаментальную систему решений однородного уравнения, и, следовательно, применить метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородного уравнения. Пример: найти общее решение уравнения. В соответствии с методом вариации система для нахождения будет Решаем эту систему: Общее решение: константы в окончательном ответе переобозначены. Методом Лагранжа может быть решено любое неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Однако если свободный член в уравнении 20 имеет вид. Тогда частное решение надо искать в видегде R m x и S m x - многочлены степени m с неопределёнными коэффициентами. Дифференцируя функцию y чн n раз, подставив эти производные в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x и одинаковых тригонометрических функциях sin x или cos xполучим систему из 2 m + 1 уравнений относительно 2 m + 1 неопределённых коэффициентов многочленов R m x и S m x. Решив эту систему, определим коэффициенты функции y чн x. Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего. R m x - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами. Найти общее решение уравнения. Еслито частное решение ищется в видеесли число не является корнем характеристического уравнения, и в видеесли число - корень характеристического уравнения кратности r. R m x - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами. Это правило следует из общего, если записать в виде. В этом случае. Найти общее решение уравнения. Дальнейшие выкладки проводятся также, как и в предыдущих примерах. Пример на применение общего правила: 7. Ищем первое частное решение, удовлетворяющее уравнению. Ищем второе частное решение, удовлетворяющее уравнению. Находим производные этой функции подставляем их в уравнение: Сравниваем коэффициенты: Итак, Окончательный ответ:.

См. также